由无穷公理 exists s(varnothingin swedge forall x(xin s o xcup{x}in s)) 可以定义自然数集 mathbb N 为 mathbb N={xin smid forall t((varnothingin twedge forall x(xin t o xcup{x}in t)) o xin t)}
自然数的定义是什么？
自然数在数学上有很多种定义方式。
好像还没有答主讲皮亚诺公理，在这里我来讲一下吧。与依赖于集合论的定义方式不同，皮亚诺公理最初是不依赖集合论的。这样题主如果没接触集合论的情况下就能对自然数的一些基本性质有所了解。不过这两种定义方式在结果上没什么不同，前面答主提到的定义方式是能推出皮亚诺公理。
在说公理之前，首先要提到的是这是一个描述性而不是构造性的公理系统，即是我们假定自然数已经存在，但是什么样的我们还不知道，这些公理描述了自然数的一些基本性质。
公理10是一个自然数
有一点值得注意的是，皮亚诺最初对这个数使用的符号是1，而不是0。这仅仅只是符号上的差别而已，但是0和1在别的领域有很多不同的意义，（比如0往往被用作加法单位元），所以现在我们往往用的符号是0。
公理2有这样一个“后继”函数 S(n) ，对所有的自然数 n 都有定义，且 S(n) 也是一个自然数。
公理30不是任何自然数的后继，即是不存在这样的自然数 n ，使得 S(n)=0 。
公理4S(n)=S(m) Leftrightarrow n=m
公理2-4一起定义了自然数的后继。从直觉上来看，我们可以把这个自然数的定义过程看成从0开始往后数数，而这个数数的过程就是“后继”。不过就像我们之前提到的一样，这是一个描述性而不是构造性的公理系统。我们这样做的目的是给出能够推出自然数性质的一组最小的前提条件，而不是构造能满足我们需要的自然数。也正是因为这样，我们需要确保我们描述的就是自然数，而不是一些别的东西。目前，这4个公理还不能良好地描述自然数，比如举一个例子，以下的伪自然数集：
mathbb{N}' := {0,0.5,1,1.5,cdots} 这样描述不是很严谨，一方面我们用到了“集合”这个概念，另一方面，我们还不知道0.5,1是什么。不过这只是用来表达一种思想。首先这个集合中，我们让0的后继是1，1的是2... 而另一方面，让0.5的后继是1.5，1.5的是2.5... 很易看出，这些数满足公理1-4，但是并不是我们想要的自然数。所以在此之外，还有最后一条公理：
公理5——数学归纳法公理假设有对所有自然数都有定义的一个命题 P(n) 满足这样的条件：
P(0) 是真的P(n) Rightarrow P(S(n)) 则 P 对所有自然数都是真的。
另外，皮亚诺刚开始还描述了自然数关于相等关系的4个公理：
(1) n=n
(2) a=b Leftrightarrow b=a
(3) a=b wedge b=c Rightarrow a=c
(4) 若 a 是自然数，且 a=b ，则 b 也是自然数不过现在相等关系的公理一般被归在数学基础逻辑的公理里，它们的描述对象也从自然数被拓展到了一切数学对象。
随后，我们为了把我们现在的符号系统施加到自然数上，我们定义：
1:=S(0),quad 2:=S(1),quad cdots
我们现在可以定义一些别的东西，比如加法了。我们的直觉是： S(n) 就相当于 n+1 ，1+2无非是把 S 施加在1上2次而已，即是 1+2=S(S(1)) 。而把 S(1) 替换为1+1，2替换为 S(1) 我们得到： 1+S(1)=S(1+1) 于是我们把加法定义如下：
(1) n+0:=n
(2) n+S(m):=S(n+m)
递归地，根据定义，我们得到：
知乎老是出错，上别的地方编译完放图片吧知乎老是出错，上别的地方编译完放图片吧...
根据公理5，我们很易证明加法对所有自然数都有定义：
首先 n+0=n 是自然数。
现在假设加法已经对 n+m 有了定义，结果也是一个自然数，则 n+S(m)=S(n+m) 也是自然数。这完成了数学归纳。
那么，现在我们已经对算数的基本原理有了一定了解，就让我们来看一下下面这个简单的例子，来吧我们刚刚学到的知识运用到实践中吧。
额放错图了，习题应该是这样的：
证明2+4=6证明：
知乎老是出错，上别的地方编译完放图片吧square
嗯看起来我们已经描述完我们常用的加法了。不过加法的一些性质我们还不能用，比如最基础的交换律。没关系，现在我们就来证明一下吧：
定理1：加法满足交换律，即是对自然数 m,n,quad m+n=n+m 证明:先证明两个引理。
引理1： 0+a=a 使用公理5:首先 0+0=0 。然后假设 0+a=a 已成立，则 0+S(a)=S(0+a)=S(a) 。数学归纳法公理保证了我们的命题成立。 square
引理2： S(m)+n=S(m+n) 使用归纳法：首先 S(m)+0=S(m)=S(m+0) 。假设 S(m)+n=S(m+n) 已经成立，则
知乎老是出错，上别的地方编译完放图片吧这完成了数学归纳 square 。
接下来对 m 使用归纳法，刚才我们已经证明了： 0+n=n+0=n 。则假设 m+n=n+m 已经成立，则
知乎老是出错，上别的地方编译完放图片吧数学归纳法公理保证，加法交换律成立 square 。
由于篇幅原因，什么结合律，自然数的序（大于小于这些的），减法，乘法，这里就不再说了，大家感兴趣可以自己去找一下相关内容。不过相信通过这个过程，我们已经对自然数是什么有了更深刻的理解。
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